Approximation des Terms $gijx$_l,ij

Analog zur einseitigen Differenzenapproximation für die ersten Ableitungen lassen sich für die gemischten zweiten Ableitungen $(i$ j) die folgenden ''schiefen'' upwind-Approximationen formulieren:

Wenn $gij>\; 0$:

(6.137)

Wenn :

(6.138)

Auch hier lassen sich die Gleichungen (6.132), (6.137) und (6.138) unter Einführung des Parameters $$ zusammenfassen:

	(6.139)

mit

(6.140)

Im Falle $i\; =\; j$, wird $$ zu null gesetzt, und es folgt die zentrale Approximation. Wenn $i$ j ist, dann liefert $$= 0 ebenfalls wieder die zentrale Approximation, jedoch ist in diesem Fall die ''schiefe'' Approximation sinnvoller $($= 1).

Einsetzen der Gleichungen (6.135) und (6.139) in Gleichung (6.130) liefert schließlich die finite Differenzenapproximation der elliptischen Gittergenerierung im Punkt $($_i,_j,_k)

(6.141)

Diese Gleichung kann für alle Punkte des Rechengebietes angeschrieben werden und das resultierende Gleichungssystem lautet in Matrizenschreibweise

$X$ ist der Lösungsvektor, der die gesuchten kartesischen Koordinaten aller inneren Netzpunkte enthält, $A$ ist die zugeordnete Koeffizientenmatrix und die rechte Seite $B$ beinhaltet die Koordinaten der vorgegebenen Randpunkte. Die Lösung des Systems mittels eines direkten Verfahrens (z.B. Gauß-Elimination) liefert zwar in einem Schritt die Lösung für jeden Punkt, jedoch ist diese Vorgehensweise bei großen Punktzahlen sehr rechenintensiv. Effizienter ist dagegen ein iteratives Verfahren. Dazu wird hier das SOR-Verfahren betrachtet, das durch folgenden Algorithmus beschrieben wird:

(6.142)

Der obere Index $n$ bezeichnet die Iterationsstufe des SOR-Verfahrens. Die Folge aller inneren Punkte des Rechengebiets, die nach einer bestimmten Reihenfolge in dem eindimensionalen Array $X$ abgespeichert werden, ist durch den unteren Zählindex $p\; =\; 1,...,N$ gekennzeichnet. $$ ist der Relaxationsfaktor. Mit $$= 1 reduziert sich das SOR-Verfahren auf das Gauß-Seidel-Verfahren, während dieses im Fall $$>1 bzw. $$<1 durch Über- bzw. Unterrelaxation beschleunigt wird. Gemäß der Beziehung (6.142) werden nun alle $X$_p nacheinander berechnet, wobei bereits ermittelte Werte $X$_q für direkt in die Auswertung der rechten Seiten einfließen.

Unter Einführung des Zwischenwertes $X*$_p läßt sich das Auflösen der Gleichung (6.141) mit dem SOR-Verfahren in der kompakten Form schreiben:

(6.143)

mit

und

Setzt man bei der Auswertung der Beziehungen in Gleichung (6.142) nur Werte aus der vorangegangenen Iterationsstufe $(n)$ ein, dann bezeichnet man Gleichung (6.142) als das extrapolierte Jacobi-Verfahren.

Entscheidend für das Konvergenzverhalten des SOR-Verfahrens ist die optimale Bestimmung des Relaxationsfaktors $$, auf dessen exakte Herleitung aufgrund der Komplexität hier nicht näher eingegangen werden kann. Dazu sei zunächst auf numerisches Experimentieren verwiesen.