Die Hauptschwierigkeit

In Kapitel 5 haben wir das Verfahren zur Lösung der allgemeinen Differentialgleichung für $\phi$ in Gegenwart eines gegebenen Strömungsfeldes formuliert. Normalerweise muß das Strömungsfeld (Geschwindigkeiten) und das Druckfeld jedoch aus den entsprechenden Bilanzgleichungen berechnet werden. Die Geschwindigkeitskomponenten ergeben sich aus den Impulsgleichungen, die spezielle Fälle der allgemeinen Differentialgleichung für $\phi$ darstellen (mit $\phi = u,\ \Gamma = \mu$ usw.). Das Gleichungssystem für die Berechnung eines Strömungsfeldes in diesen sogenannten primitiven Variablen lautet (siehe dazu die Abschnitte 2.1.3 und 2.1.5):

Impuls:

$${\partial \over \partial t} (\varrho u_i) + {\partial \over \part... ...ial x_j} \right) - {\partial p \over \partial x_i} + S_{u_i} \qquad i=1 \dots 3$$ (6.1)

Kontinuität:

$${\partial \varrho \over \partial t} + {\partial \over \partial x_j} (\varrho u_j) = 0 \ .$$ (6.2)

Die Schwierigkeit bei der Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes liegt im unbekannten Druckfeld. Der Druckgradient ist Teil des Quellterms für eine Impulsgleichung. Es gibt jedoch keine naheliegende Gleichung für den Druck; die Kontinuitätsgleichung enthält den Druck nicht. Das Druckfeld ist indirekt gegeben durch die Kontinuitätsgleichung. Wenn das korrekte Druckfeld in die Impulsgleichungen eingesetzt wird, erfüllt das resultierende Geschwindigkeitsfeld die Kontinuitätsgleichung. Diese indirekte Beschreibung ist für unsere Zwecke ungeeignet; es sei denn, wir würden den resultierenden Satz von Differenzengleichungen für Impuls und Kontinuität simultan lösen wollen. Zur Berechnung von konsistenten Druck- und Geschwindigkeitsfeldern sind derzeit zwei prinzipiell unterschiedliche Vorgehensweisen üblich.

In der einen Methode wird die Kontinuitätsgleichung zur Bestimmung der lokalen Dichte benutzt. Aus der Dichte wiederum kann dann mit einer Zustandsgleichung (z.B. der Zustandsgleichung für ideale Gase) der Druck bestimmt werden, der dann in die Impulsgleichungen (6.1) einzusetzen ist. Diese Vorgehensweise ist von Vorteil, wenn kompressible Strömungen zu berechnen sind und ist daher die Basis für viele erfolgreiche Techniken zur Berechnung kompressibler Strömungen (z.B. MacCormack (1982), Baldwin u.a. (1975), Steger und Warming (1981)). Die auf die Dichte bezogene Methode kann aber nur unter der Voraussetzung genutzt werden, daß tatsächlich eine eindeutige Beziehung zwischen Druck und Dichte vorhanden ist. Bei inkompressiblen Strömungen kann diese Methode daher nur mit Maßnahmen, die eine künstliche Verbindung zwischen Druck und Dichte schaffen, benutzt werden. Ein Beispiel dafür ist die sogenannte Methode der künstlichen Kompressibilität, bei der zwischen Druck und Dichte willkürlich eine schwache Kopplung angesetzt wird.

In der anderen Methode zur Ermittlung des Geschwindigkeits- und Druckfeldes wird ein auf den Druck bezogenes Verfahren eingesetzt. Hier wird zum Abgleich von Impulsbilanz und Kontinuität der Druck aus einer Gleichung bestimmt, die aus der Impulsbilanz und der Kontinuitätsgleichung resultiert. Eine solche Vorgehensweise hat gegenüber den auf die Dichte bezogenen Verfahren den Vorteil, grundsätzlich sowohl für inkompressible als auch für kompressible Strömungen anwendbar zu sein (Karki und Patankar (1988)). Bei diesen auf den Druck bezogenen Verfahren sind gegenwärtig unterschiedliche Lösungsstrategien für die numerische Simulation bekannt. Eines dieser Verfahren, das sogenannte Druckkorrekturverfahren wird im folgenden näher beschrieben.

An dieser Stelle sei noch kurz auf Möglichkeiten zur Vermeidung der mit der Druckbestimmung verbundenen Schwierigkeiten durch Wirbelstärke- und reine Stromfunktionsverfahren verwiesen.

Unsere Aufgabe ist die Umsetzung der indirekten Information in der Kontinuitätsgleichung in einem direkten Algorithmus für die Druckberechnung. Für dieses Vorhaben müssen jedoch einige Schwierigkeiten überwunden werden.