Einseitig und zweiseitig gerichtete Koordinaten

Zweiseitig gerichtete Koordinate:

die Bedingungen an einem Punkt werden beeinflußt durch Vorgänge auf beiden Seiten dieses Punktes.

Einseitig gerichtete Koordinate:

die Bedingungen an einem Punkt werden nur durch Vorgänge auf einer Seite dieses Punktes beeinflußt.

Die Zeit ist stets einseitig gerichtet.

Abbildung: Abkühlung einer ''Kartoffel''

Eine Raumkoordinate wird einseitig gerichtet, wenn in dieser Richtung starke Strömung herrscht:

In Strömungen konkurrieren zwei Prozesse:

Konvektion: einseitig gerichteter Prozeß

Diffusion: $\$ zweiseitig gerichteter Prozeß

Konvektionsdominierte Strömungen sind einseitig gerichtet.

Klassifizierung allgemeiner Differentialgleichungen:

parabolisch

elliptisch

hyperbolisch

Beispiele:

${\partial T \over \partial t} = \alpha {\partial^2 T \over \partial x^2}$	parabolisch eindimensional instationär
${\partial^2 T \over \partial x^2} + {\partial^2 T \over \partial y^2} = 0$	elliptisch zweidimensional stationär
${\partial T \over \partial t} = \alpha \left( {\partial^2 T \over \partial x^2} + {\partial^2 T \over \partial y^2} \right)$	parabolisch zweidimensional instationär

Die mathematische Klassifizierung von Differentialgleichungen nach parabolisch und elliptisch korrespondiert mit dem Konzept von einseitig und zweiseitig gerichteten Koordinaten:

parabolisch $\quad \to$ einseitig gerichtetes Verhalten (wenigstens einer Koordinate)

elliptisch $\quad \to$ zweiseitig gerichtetes Verhalten (in allen anderen Fällen).

Es wäre allerdings besser, wenn man Situationen als ''in einer gegebenen Koordinate elliptisch oder parabolisch'' bezeichnen würde. So sind beispielsweise Grenzschichten parabolisch in Hauptströmungsrichtung und elliptisch über den Strömungsquerschnitt.

Erkennen und Ausnutzen einer einseitig gerichteten Koordinate führt zu signifikanten Einsparungen von Rechenzeit und Speicherbedarf, schränkt andererseits das Verfahren hinsichtlich seiner Anwendbarkeit auf allgemeinere Aufgabenstellungen ein.