Allgemeine Bilanzgleichung

Betrachtet werden die Flüsse einer beliebigen Größe an den Grenzen eines Volumenelements:

Abbildung: Flußbilanz in $x$-Richtung an einem Volumenelement

$J_x$: Fluß in $x$-Richtung = Strom der Größe pro Flächeneinheit.

$$= \left(J_x + \frac{\partial J_x}{\partial x} \Delta x - J_x \right) \cdot \Delta y \Delta z$$ (2.7)

$$= \frac{\partial J_x}{\partial x} \cdot \underbrace{\Delta x \Delta y \Delta z}_{\Delta V}.$$

$$\ \ = \frac{\partial J_x}{\partial x}.$$ (2.8)

Bei Betrachtung aller drei Raumrichtungen $x,\ y,\ z$:

$$\ \ = \frac{\partial J_x}{\partial x} + \frac{\partial J_y}{\partial y} + \frac{\partial J_z}{\partial z}$$ (2.9)

$$= div \underline{J} \qquad = \qquad \underline{\nabla} \cdot \underline{J}.$$

Das Finite-Volumen-Verfahren basiert auf einer Bilanz über ein sogenanntes Kontrollvolumen.

Die differentielle Form einer allgemeinen Bilanz lautet damit: ⁴⁵

$$\frac{\partial}{\partial t} (\varrho \phi) + \underline{\nabla} \cdot \underline{J} = S_{\phi} \ ,$$ (2.10)

bzw.

$$\frac{\partial}{\partial t} (\varrho \phi) + \frac{\partial J_i}{\partial x_i} = S_{\phi} \ ,$$ (2.11)

mit den Flüssen

$$J_i = \underbrace{(\varrho u_i \phi)}_{Konvektion} + \underbrace{\left(- \Gamma_{\phi} \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \right)}_{Diffusion}$$ (2.12)

$\underline{J}$	$=$	$\underline{J}_{Konvektion} + \underline{J}_{Diffusion}$
$\underline{J}_{Konvektion}$	$=$	$(\varrho \underline{u}) \phi$
$\underline{J}_{Diffusion}$	$=$	$- \Gamma_{\phi} \ grad \phi = - \Gamma_{\phi} \underline{\nabla} \phi$
$\Gamma_{\phi}$		ein allgemeiner Diffusionskoeffizient (auch: Leitfähigkeit)
$S_{\phi}$		Quellterm; Erzeugungsrate pro Volumeneinheit

Es folgt die allgemeine differentielle Form der Transportgleichung:

$$\vbox{\hrule\hbox {\vrule \hskip 0.4cm \vbox{\vskip 0.4cm{} \hsiz... ...{(Quelle)}} \end{displaymath} \vskip 0.4cm} \hskip 0.4cm \vrule} \hrule } \atop$$ (2.13)

$\phi$ kann stehen für

--

eine Geschwindigkeitskomponente

--

spezifische Enthalphie oder Temperatur

--

Konzentration einer chemischen Komponente (Massenbruch)

--

eine Turbulenzgröße (z.B. turbulente kinetische Energie pro Masse, Wirbelviskosität)

--

elektrisches oder magnetisches Potential

--

Druck in porösen Medien

$\vdots$

Die Bilanzgleichungen für unterschiedliche Größen lassen sich alle in beiden oben erwähnten Formen (2.5, 2.13) darstellen. Sie drücken ein Erhaltungsprinzip aus.

Im allgemeinen ist $\phi$ eine Größe pro Masseneinheit. Die Terme der Differentialgleichung sind Größen pro Volumen und pro Zeiteinheit.

Sei	$\phi$	massenbezogene Größe
	$\varrho$	(Dichte) Masse der Mischung pro Volumeneinheit,
dann	$\varrho \phi$	Größe pro Volumeneinheit
	${\partial \over \partial t} (\varrho \phi)$	Änderung pro Volumen- und Zeiteinheit.

$\Gamma_{\phi}$ und $S_\phi$ haben spezifische Bedeutung für jedes $\phi$.

Die Anwendung des Transporttheorems (2.4) auf die Bilanzen für Impuls, Masse und Energie ergibt die entsprechenden Transport- bzw. Erhaltungsgleichungen.