Zeitliche Änderung materieller Integrale

Es soll untersucht werden, in welcher Weise sich eine beliebige Eigenschaft $\phi$ (Impuls, Dichte, etc.) eines flüssigen ''Körpers'', also eines materiellen Volumens $dV$, ändert. Das Problem liegt hierbei in der Tatsache, daß ein solches Volumen zwar immer von denselben Teilchen gebildet wird, seine Gestalt und räumliche Lage sich jedoch fortlaufend ändern.

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \rightarrow \qquad \frac{d}{dt} \int \limits_{V(t)} \phi dV = RHS \ ,$$ (2.1)

$RHS$ ¹ symbolisiert hier eine allgemeine rechte Seite, die in der Regel aus sogenannten Quelltermen zur Erzeugung oder Vernichtung von $\phi$ besteht. Da das Volumen, d.h. die Integrationsgrenzen, ebenfalls von der Zeit abhängt, muß man die Leibnitzsche Regel anwenden und notiert

$$\frac{d}{dt} \int \limits_{x_1(t)}^{x_2(t)} \int \limits_{y_1(t)}^{y_2(t)} \int \limits_{z_1(t)}^{z_2(t)} \phi dV = \int \limits_{V(t_0)} \frac{\partial \phi}{\partial t} dV + \left... ...( \phi \frac{\partial x}{\partial t} \right) dA_x \right]_{x_1(t_0)}^{x_2(t_0)}$$

$$+ \left[ \int \limits_{A_y(t_0)} \left( \phi \frac{\partial y}{\par... ...hi \frac{\partial z}{\partial t} \right) dA_z \right]_{z_1(t_0)}^{z_2(t_0)} \ ,$$ (2.2)

und damit

$$\frac{d}{dt} \int \limits_{V(t)} \phi dV = \int \limits_{V(t_0)} ... ...rtial t} dV + \oint\limits_{A(t_0)} \phi \underline{u} \cdot d\underline{A} \ ,$$ (2.3)

wobei $\underline{u}$ die Geschwindigkeit² des Volumens bzw. der Teilchen, die dieses Volumen bilden, angibt und $\underline{A}$ die Oberfläche des Volumens darstellt.

Es ergibt sich das Reynoldsche Transporttheorem

$$\frac{d}{dt} \int \phi dV = \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dV + \oint \phi \underline{u} \cdot d\underline{A} \ .$$ (2.4)

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes $\oint d\underline{A} \otimes \phi = \int (\underline{\nabla} \otimes \phi ) dV$ erhält man die konservative Form der Erhaltungsgleichung:

$$\frac{d}{dt} \int \phi dV = \int \left[ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \underline{\nabla} \cdot ( \phi \underline{u} ) \right] dV = RHS \ .$$ (2.5)

Die Verwendung der substantiellen Ableitung ³führt auf eine kompakte Formulierung:

$$\frac{d}{dt} \int \phi dV = \int \left[ \frac{\partial \phi}{\partial t} +\underline{\nabla} \cdot ( \phi \underline{u} ) \right] dV$$

$$= \int \left[ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \underline{\nabla} \phi \cdot \underline{u} + \phi \underline{\nabla} \cdot \underline{u} \right] dV$$

$$= \int \left[ \frac{D \phi}{Dt} + \phi \underline{\nabla} \cdot \underline{u} \right] dV \ .$$ (2.6)