Geometrische Ableitung der Verzerrungen

Die relative Längenänderung oder Dehnung eines Kurvenelementes kann wie folgt berechnet werden:

woraus dann mit $d$x&thicksp;=&thicksp;ds&thicksp;n und 31 folgt

nB^-1n&thicksp;-1.

Die Dehnung ist somit eine nichtlineare Funktion der Verschiebungsableitungen, denn es gilt der Zusammenhang aus Gleichung 32. Drückt man die Verzerrungstensorkomponenenten durch die Verschiebungsableitungen aus, wie z.B in Gleichung 38, dann sieht man die Komplexität des allgemeinen Zusammenhanges für eine exakte Berechnung.
Analog läßt sich der Zusammenhang für eine Winkeländerung zwischen zwei Linienelementen (Gleitung) bei Verformung als noch kompliziertere Funktion der Verzerrungstensorkomponenten ausdrücken. Gleiches gilt für die Volumendilatation. Diese Zusammenhänge sind ausführlich in [17], S106 ff., dargestellt. Im Zuge einer Linearisierung, in der man den Unterschied der Eulerschen und Lagrangeschen Koordinaten vernachlässigt, werden diese Zusammenhänge ebenfalls linearisert und damit zu den bekannten, linearen Verschiebungs- Verzerrungs- Relationen. Eine ebenfalls sehr genaue Beschreibung ist [8] zu entnehmen.