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Allgemeine Bilanzgleichung

Betrachtet werden die Flüsse einer beliebigen Größe an den Grenzen eines Volumenelements:

Abbildung: Flußbilanz in $ x$-Richtung an einem Volumenelement
\includegraphics*[width=11cm, angle=0]{Abb/fvm1_1.eps}

$ J_x$: Fluß in $ x$-Richtung = Strom der Größe pro Flächeneinheit.


  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(J_x + \frac{\partial J_x}{\partial x} \Delta x - J_x \right)
\cdot \Delta y \Delta z$  
      (2.7)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial J_x}{\partial x}
\cdot \underbrace{\Delta x \Delta y \Delta z}_{\Delta V}.$  

$\displaystyle \ $   pro$\displaystyle \ $   Volumeneinheit$\displaystyle = \frac{\partial J_x}{\partial x}.$ (2.8)


Bei Betrachtung aller drei Raumrichtungen $ x,\ y,\ z$:

$\displaystyle \ $   pro$\displaystyle \ $   Volumeneinheit $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\partial J_x}{\partial x} + \frac{\partial J_y}{\partial y}
+ \frac{\partial J_z}{\partial z}$ (2.9)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle div \underline{J} \qquad
= \qquad \underline{\nabla} \cdot \underline{J}.$  


Das Finite-Volumen-Verfahren basiert auf einer Bilanz über ein sogenanntes Kontrollvolumen.

Die differentielle Form einer allgemeinen Bilanz lautet damit: 45


$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (\varrho \phi)
+ \underline{\nabla} \cdot \underline{J} = S_{\phi} \ ,$     (2.10)

bzw.

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (\varrho \phi) + \frac{\partial J_i}{\partial x_i} = S_{\phi} \ ,$ (2.11)

mit den Flüssen

$\displaystyle J_i = \underbrace{(\varrho u_i \phi)}_{Konvektion} + \underbrace{\left(- \Gamma_{\phi} \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \right)}_{Diffusion}$ (2.12)

$ \underline{J}$ $ =$ $ \underline{J}_{Konvektion}
+ \underline{J}_{Diffusion} $
$ \underline{J}_{Konvektion}$ $ =$ $ (\varrho \underline{u}) \phi $
$ \underline{J}_{Diffusion} $ $ =$ $ - \Gamma_{\phi} \ grad \phi =
- \Gamma_{\phi} \underline{\nabla} \phi $
$ \Gamma_{\phi}$   ein allgemeiner Diffusionskoeffizient (auch: Leitfähigkeit)
$ S_{\phi}$   Quellterm; Erzeugungsrate pro Volumeneinheit


Es folgt die allgemeine differentielle Form der Transportgleichung:

$\displaystyle \vbox{\hrule\hbox {\vrule \hskip 0.4cm \vbox{\vskip 0.4cm{} \hsiz...
...{(Quelle)}} \end{displaymath} \vskip 0.4cm} \hskip 0.4cm \vrule} \hrule } \atop$ (2.13)


$ \phi $ kann stehen für

--
eine Geschwindigkeitskomponente
--
spezifische Enthalphie oder Temperatur
--
Konzentration einer chemischen Komponente (Massenbruch)
--
eine Turbulenzgröße (z.B. turbulente kinetische Energie pro Masse, Wirbelviskosität)
--
elektrisches oder magnetisches Potential
--
Druck in porösen Medien
$ \vdots$

Die Bilanzgleichungen für unterschiedliche Größen lassen sich alle in beiden oben erwähnten Formen (2.5, 2.13) darstellen. Sie drücken ein Erhaltungsprinzip aus.

Im allgemeinen ist $ \phi $ eine Größe pro Masseneinheit. Die Terme der Differentialgleichung sind Größen pro Volumen und pro Zeiteinheit.


Sei $ \phi $ massenbezogene Größe
  $ \varrho$ (Dichte) Masse der Mischung pro Volumeneinheit,
dann $ \varrho \phi$ Größe pro Volumeneinheit
  $ {\partial \over \partial t} (\varrho \phi)$ Änderung pro Volumen- und Zeiteinheit.

$ \Gamma_{\phi}$ und $ S_\phi$ haben spezifische Bedeutung für jedes $ \phi $.



Die Anwendung des Transporttheorems (2.4) auf die Bilanzen für Impuls, Masse und Energie ergibt die entsprechenden Transport- bzw. Erhaltungsgleichungen.


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Ulf Bunge 2003-10-10