Es soll untersucht werden, in welcher Weise sich eine beliebige Eigenschaft (Impuls, Dichte, etc.) eines flüssigen ''Körpers'', also eines materiellen Volumens , ändert. Das Problem liegt hierbei in der Tatsache, daß ein solches Volumen zwar immer von denselben Teilchen gebildet wird, seine Gestalt und räumliche Lage sich jedoch fortlaufend ändern.
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1 symbolisiert hier eine allgemeine rechte Seite, die in der Regel aus sogenannten Quelltermen zur Erzeugung oder Vernichtung von besteht. Da das Volumen, d.h. die Integrationsgrenzen, ebenfalls von der Zeit abhängt, muß man die Leibnitzsche Regel anwenden und notiert
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und damit
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wobei die Geschwindigkeit2 des Volumens bzw. der Teilchen, die dieses Volumen bilden, angibt und die Oberfläche des Volumens darstellt.
Es ergibt sich das Reynoldsche Transporttheorem
Mit Hilfe des Gaußschen Satzes erhält man die konservative Form der Erhaltungsgleichung:
Die Verwendung der substantiellen Ableitung 3führt auf eine kompakte Formulierung:
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