Das Power-Law-Schema (PS)

Aus dem Bild in Kapitel 5.1.4 folgt, daß die Abweichung des HS von der exakten Kurve recht groß ist für $P_e = \underline{+} 2$. Außerdem ist das Nullsetzen der Diffusion für $\vert P_e \vert > 2$ recht voreilig. Eine bessere Approximation gibt das Power-Law Schema. Die Power-Law-Ausdrücke für $a_E$ sind

$$P_e \le - 10: {a_E \over D_e} = - P_e$$

$$-10 < P_e < 0: {a_E \over D_e} = (1 + 0.1 P_e)^5 - P_e$$

$$0 < P_e < 10: {a_E \over D_e} = (1 - 0.1 P_e)^5$$ (5.33)

$$P_e > 10: {a_E \over D_e} = 0$$

Für $\vert P_e \vert > 10$ ist PS identisch mit HS. Die Kompaktdarstellung lautet:

$$a_E = D_e \left[\!\!\left[0, \left( 1 - {0.1 \vert F_e \vert \over D_e} \right)^5 \right]\!\!\right] + \left[\!\left[ 0, -F_e \right]\!\right] \ .$$ (5.34)

Die Übereinstimmung des PS mit dem ES ist zu gut für eine graphische Darstellung:

Vergleich der Koeffizientenwerte

für das Power-Law-Schema und das Exponential-Schema.

$$\offinterlineskip \tabskip=0pt \vbox{ \halign to 0.8\hsize {\stru... ... & 0&.00045 & \cr &20& & &0& & & 4&.1 \times 10^{-8} & \cr \noalign{\hrule } }}$$

Das PS wäre somit das bevorzugte von den auf nur zwei Punkten basierenden Schemata für so einfache eindimensionale Konvektions-Diffusions-Probleme, obwohl das HS in vielen Situationen ebenso gute Dienste leistet.