Illustratives Beispiel

Beobachten wir die KV-Formulierung an einem einfachen Beispiel. Die eindimensionale stationäre Wärmeleitung (vergleiche Kapitel 4.1) lautet:

$${d \over dx} \left( k {dT \over dx} \right) + S = 0 \ .$$ (3.5)

$\bullet$

Festlegung eines Gitters:

Abbildung 6: Allgemeines Gitter

Die Benennung benachbarter Punkte eines KV erfolgt nach der sog. Kompaßnotation:

P

-- betrachteter (zentraler) Punkt

E

-- Ost-Nachbarpunkt

W

-- West-Nachbarpunkt

$\mid$

$\quad$

$e$

$\quad$ Ost-Kontrollvolumen-Wand

$w$

$\quad$ West-Kontrollvolumen-Wand

$\mid$

$\quad$ Kontrollvolumen-Wand, nicht notwendigerweise in der Mitte zwischen zwei Punkten.

Zur Vereinfachung verwenden wir eine Einheitsdicke in $y$- und $z$-Richtung: $\Delta y=1$, $\Delta z=1$.

$\rightarrow$ Volumen $\Delta V = \Delta x \cdot 1 \cdot 1$

$\bullet$

Integriere bezüglich $x$ von $w$ nach $e$:

$$\int\limits_{w}^{e} \left[ {d \over dx} \left( k {dT \over dx} \right) + S \right] dx = 0 \ ,$$ (3.6)

$$\left( k {dT \over dx} \right)_e - \left( k {dT \over dx} \right)_{w} + \int\limits_{w}^e S dx = 0$$ (3.7)

Bis hierher haben wir keinerlei Näherung verwendet!

$\bullet$

Profilannahme

An dieser Stelle muß eine Formel zur Beschreibung des $T$-Verlaufs zwischen den Gitterpunkten gewählt werden. Es soll die einfachste Profilannahme, die noch sinnvoll ist, verwendet werden. Naheliegend sind

Stufenprofil:

Ein Stufenprofil ist nicht sinnvoll, da ${dT \over dx}$ an den Kontrollvolumen-Wänden nicht definiert ist. (siehe Abbildung 7)

Abbildung 7: Stufenprofil

stückweise lineares Profil:

Der Gradient ist an den Kontrollvolumen-Wänden kontinuierlich aber nicht definiert an den Gitterpunkten. Eine Berechnung dort ist aber auch nicht nötig. (siehe Abbildung 8)

Abbildung: Stückweise lineares Profil

$\bullet$

Konstruktion der Diskretisierungsgleichung

$$\left( {dT \over dx} \right)_e = {T_E - T_P \over (\delta x)_e} \ ; \qquad \left( {dT \over dx} \right)_w ={T_P - T_W \over (\delta x)_w} \ ;$$ (3.8)

$$\int\limits_w^e S dx = \overline{S} \Delta x$$ (3.9)

$\overline{S}$ - über Kontrollvolumen gemittelte Rate

führt auf:

$$k_e {T_E - T_P \over (\delta x)_e} - k_w {T_P - T_W \over (\delta x)_w} + \overline{S} \Delta x = 0 \ .$$ (3.10)

Allgemeine Form:

$$a_P T_P = a_E T_E + a_W T_W + b$$ (3.11)

mit

$$a_E ={k_e \over (\delta x)_e} \ ; \ a_W ={k_w \over (\delta x)_w} \ ;$$ (3.12)

$$a_P = a_E + a_W \ ; \ b = \overline{S} \Delta x \ .$$

Die hier abgeleitete Form der Diskretisierungsgleichung kann als Satz von Koeffizienten für ein lineares Gleichungssystem (LGS) verstanden werden, das sich numerisch lösen läßt.