Andere Koordinatensysteme

Bis jetzt wurde ein kartesisches Koordinatensystem vorausgesetzt. Die Methode ist jedoch auf alle orthogonalen Koordinatensysteme, z.B. Polar-Koordinaten $(r,\ \theta )$ anwendbar. Das Gegenstück zu (4.39) ist hier:

$$c {\partial T \over \partial t} = {1 \over r} {\partial \over \pa... ...rtial \theta} \left( {k \over r} {\partial T \over \partial \theta} \right) + S$$ (4.53)

Abbildung 22: Gitter und Kontrollvolumen in $(r,\ \theta )$-Koordinaten

Die z-Dicke ist 1. Die Diskretisierungsgleichung erhält man durch Multiplikation mit $r$ und Integration über $r$ und $\theta$ über das Kontrollvolumen (ergibt ein Volumenintegral, denn $r dr d\theta$ ergibt Volumenelemente mit Dicke 1). Mit dem Vorgehen von Kapitel 4.7 erhalten wir die Diskretisierungsgleichung:

$$a_P T_P = a_E T_E + a_W T_W + a_N T_N + a_S T_S + b$$ (4.54)

mit

$$a_E = \frac{k_e \Delta r}{r_e (\delta \theta)_e} \ ; \qquad \qquad a_W = \frac{k_w \Delta r}{r_w (\delta \theta)_w} \ ;$$

$$a_N = \frac{k_n r_n \Delta \theta}{(\delta r)_n} \ ; \qquad \qquad a_S = \frac{k_s r_s \Delta \theta}{(\delta r)_s} \ ;$$

$$a_P^0 =\frac{c \Delta V}{\Delta t} \ ; \qquad \qquad b = S_C \Delta V + a_P^0 T_P^0$$ (4.55)

$$a_P = a_E + a_W + a_N + a_S + a_P^0 - S_P \Delta V$$

$\Delta V$ ist das Volumen des Kontrollvolumens: $\Delta V = 0.5 (r_n + r_s) \Delta \theta \Delta r$ ($\Delta V$ ist nicht notwendigerweise gleich $r_P \Delta \theta \Delta r$, außer wenn $P$ in der Mitte zwischen $n$ und $s$ liegt; Praxis B).