Zwei- und dreidimensionale Situationen

Abbildung 18: Zweidimensionaler Gitterausschnitt

Die Abbildung 18 zeigt einen Gitterausschnitt eines rechtwinkligen Gitters mit Gitterpunkt $P,\ E$ und $W$ als Nachbarn in $x$-Richtung, $N, \ S$ (north, south) als Nachbarn in $y$-Richtung. Die Dicke in $z$-Richtung ist 1. Die Nomenklatur für $\Delta x,\ (\delta x)_e$ etc. ist analog zur eindimensionalen Situation. Der tatsächliche Ort der Kontrollvolumen-Wände ist noch offen. Die Berechnung des Wärmeflusses $q_e$ über die Wand zwischen $P$ und $E$ erfolgt unter der Annahme, daß $q_e$ konstant über der Fläche $\Delta y \times 1$ ist. Die anderen Wärmeströme werden entsprechend behandelt. Ferner werden die Gleichungen nur für rechtwinklige Gitter formuliert, es entstehen also keine sogenannten 'Kreuzdiffusionsterme' wie in Kapitel 7.2.

Damit wird die Differentialgleichung

$${\partial T \over \partial t} = {\partial \over \partial x} \left... ... {\partial \over \partial y} \left( k {\partial T \over \partial y} \right) + S$$ (4.39)

zur Diskretisierungsgleichung

$$a_P T_P = a_E T_E + a_W T_W + a_N T_N + a_S T_S + b$$ (4.40)

mit

$$a_E = \frac{k_e \Delta y}{(\delta x)_e} \ ; \qquad \qquad a_W = \frac{k_w \Delta y}{(\delta x)_w} \ ;$$

$$a_N = \frac{k_n \Delta x}{(\delta y)_n} \ ; \qquad \qquad a_S = \frac{k_s \Delta x}{(\delta y)_s} \ ;$$

$$a_P^0 = \frac{ \Delta x \Delta y}{\Delta t} \ ; \qquad \qquad b = S_C \Delta x \Delta y + a_P^0 T_P^0 \ ;$$ (4.41)

$$a_P = a_E + a_W + a_N + a_S + a_P^0 - S_P \Delta x \Delta y \ .$$

Dabei ist $\Delta x \cdot \Delta y \cdot 1$ die Größe des Kontrollvolumens.