Diskretisierungsgleichung für drei Dimensionen

Die Hinzunahme zweier weiterer Nachbarn $B$ und $T$ (bottom, top) ergibt die Diskretisierungsgleichung:

$$a_P T_P = a_E T_E + a_W T_W + a_N T_N + a_S T_S + a_T T_T + a_B T_B + b$$ (4.42)

mit

$$a_E = \frac{k_e \Delta y \Delta z}{(\delta x)_e} \ ; \qquad \qquad a_W = \frac{k_w \Delta y \Delta z}{(\delta x)_w} \ ;$$

$$a_N = \frac{k_n \Delta x \Delta z}{(\delta y)_n} \ ; \qquad \qquad a_S = \frac{k_s \Delta x \Delta z}{(\delta y)_s} \ ;$$

$$a_T = \frac{k_t \Delta x \Delta y}{(\delta z)_t} \ ; \qquad \qquad a_B = \frac{k_b \Delta x \Delta y}{(\delta z)_b} \ ;$$

$$a_P^0 = \frac{\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta t} \ ; \qquad \qquad b = S_C \Delta x \Delta y \Delta z + a_P^0 T_P^0 \ ;$$ (4.43)

$$a_P = a_E + a_W + a_N + a_S + a_T + a_B + a_P^0 - S_P \Delta x \Delta y \Delta z \ .$$

Zur physikalischen Signifikanz der Koeffizienten:

Die Nachbarkoeffizienten können interpretiert werden als Leitfähigkeiten zwischen $P$ und dem jeweiligen Nachbarpunkt. $a_P^0 T_p^0$ ist die interne Energie (pro $\Delta t$) im Kontrollvolumen zur Zeit $t$. Der Term $b$ enthält diese innere Energie und den Wärmeerzeugungsanteil aus $S_C$.

Der zentrale Koeffizient $a_P$ ist die Summe aller Nachbarkoeffizienten (einschließlich des Zeitnachbarkoeffizienten $a_P^0$) und des Beitrags des linearen Quellterms.