Vier Grundregeln

Zur Sicherung von physikalisch realistischen Ergebnissen und globaler Erhaltung lassen sich vier wesentliche Grundforderungen formulieren:

Regel 1:

Konsistenz an den Kontrollvolumen-Wänden.
An einer Wand, die zu zwei benachbarten Kontrollvolumen gehört, muß der Fluß durch diese Wand durch den gleichen Ausdruck in den Diskretisierungsgleichungen für die beiden Kontrollvolumen dargestellt werden.
Der Wärmefluß, der ein Kontrollvolumen verläßt, muß identisch sein mit dem Fluß, der in das nächste Kontrollvolumen durch die gleiche Wand eintritt. Sonst ist keine Erhaltung möglich.
$\rightarrow$ Wandflüsse erfordern eigenständige Betrachtung.

Regel 2:

Positive Koeffizienten.
Alle Koeffizienten $(a_P, a_{nb})$ müssen immer positiv sein. Die Koeffizientendefinition (3.16) erfüllt Regel 2. Eine Verletzung der Regel führt i.a. auf physikalisch unrealistische Ergebnisse.

Regel 3:

Quellterm-Linearisierung mit negativer Steigung.
Wird der Quellterm durch

$$\overline{S} = S_C + S_P T_P$$

linearisiert, muß stets $S_P \leq 0$ sein. Dadurch wird die Diagonaldominanz der Matrix gesichert (verstärkt). Dies ist vor allem bei der Verwendung von Punktverfahren zur Lösung des Gleichungssystems wichtig.

Regel 4:

Summe der Nachbarkoeffizienten ohne Anteile aus (beliebig behandeltem) Quellterm. Wir fordern

$$a_P = \sum\limits_{nb} a_{nb}$$

für Situationen, in denen die DGL weiter erfüllt bleibt, wenn man eine Konstante zur abhängigen Variablen addiert. Die DGL enthält oft nur Ableitungen der abhängigen Variablen $T$. Dann erfüllen sowohl $T$ als auch $T + const.$ die DGL. Das muß durch die Diskretisierungsgleichung wiedergegeben werden.

Die vier Grundregeln gelten für alle (bisherigen und weiteren) Schritte. Sie sind anwendbar auf die allgemeine Variable $\phi$. Sie finden ihre Begründung unter anderem in der Anwendung iterativer Lösungsverfahren (siehe Skript zu ``Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik'' und Kapitel 8). Der Konvektionsterm in der allgemeinen DGL (2.13) erfordert spezielle Formulierungen ( $\rightarrow$ Kapitel 5). Die anderen drei Terme werden im Rahmen der Wärmeleitung (Kapitel 4) behandelt.