Diffusion

Größere Unterschiede zu der Behandlung in kartesischen Gittern treten beim Diffusionsterm auf. Die Diskretisierung (z.B. am ''east'' Rand des Kontrollvolumens) in krummlinigen Koordinaten erfolgt analog zur Vorgehensweise in (5.8) in leicht veränderter Form.

Der Diffusionsterm wird in einen impliziten und einen expliziten Anteil aufgeteilt. Der implizite Anteil repräsentiert dabei am ''east''-Rand den Fluß in $\xi$-Richtung, d.h. senkrecht zur Kontrollvolumenoberfläche, während der explizite Anteil den Fluß in $\eta$-Richtung wiedergibt:

$$\left[ \Gamma \ \Delta A \frac{\partial \xi^k}{\partial x_i} \frac{\partial \phi }{\partial \xi^k} \ n_i \right]_e = \Gamma_e \ \Delta A_e \left[ \frac{\partial \xi^k}{\partial x} \f... ...artial \xi^k}{\partial y} \frac{\partial \phi }{\partial \xi^k} \ n_y \right]_e$$ (7.12)

$$= \underbrace{ \Gamma_e \Delta A_e \left[ \frac{\partial \xi}{\part... ...artial y} \frac{\partial \phi }{\partial \eta} \ n_y \right]_e }_{explizit} \ .$$

Impliziter Anteil

$$\Gamma_e \ \Delta A_e \ \left[ \frac{\partial \phi}{\partial \xi... ...ac{\partial \phi}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial y} \ n_y \right]_e = \Gamma_e \ \Delta A_e \ \left[ (\phi_E - \phi_P) \xi_{,x} n_x + (\phi_E - \phi_P) \xi_{,y} n_y \right]$$ (7.13)

$$= \frac{\Gamma_e}{J} (\phi_E - \phi_P) \left[ (y_{ne}-y_{se})^2 + (x_{ne}-x_{se})^2 \right] \ .$$

Expliziter Anteil

$$\Gamma_e \ \Delta A_e \ \left[ \frac{\partial \phi}{\partial \eta... ... A_e \ (\phi_{ne}-\phi_{se}) \left[ \eta_{,x} \ n_x + \eta_{,y} \ n_y \right]_e$$

$$= -\frac{\Gamma_e}{J} (\phi_{ne}-\phi_{se}) \left[ (y_E - y_P)(y_{ne}-y_{se})+(x_E - x_P)(x_{ne}-x_{se}) \right] \ .$$ (7.14)

Diese Aufteilung ist nötig, weil für die implizite Lösung in einem Gleichungssystem mit vertretbarem Aufwand nur auf die Variablenwerte an den Kontrollvolumenzentren zugegriffen werden kann, die als Unbekannte zur Verfügung stehen, nicht aber auf Werte an den Kontrollvolumenecken. Hier werden die interpolierten Werte der letzten Iteration verwendet (explizite Behandlung). Der explizite Anteil wird auch als Kreuzdiffusion bezeichnet. Das Auftauchen der Kreuzdiffusion geschieht analog zum Auftreten einer gemischten Ableitung $\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta}$ bei der Approximation des Diffusionsterms mit Finiten-Differenzen (siehe [33]).

Bei der numerischen Lösung gehen die expliziten Anteile in den Quellterm ein:

$$S_{\phi, Kreuzdiffusion} = - \frac{\Gamma_e}{J} (\phi_{ne}-\phi_{... ... \ \left[ (x_E - x_P) (x_{ne}-x_{se}) + (y_E - y_P) (y_{ne}-y_{se}) \right] \ .$$ (7.15)

Da wir den Diffusionsfluß über eine Kontrollvolumenwand durch $\phi$-Werte an zwei Gitterpunkten ausdrücken, ist es wichtig, daß diese Wand senkrecht zur Verbindungslinie der beiden Gitterpunkte liegt. Ist das Gitter überall orthogonal, d.h. stehen die $\xi$- und $\eta$-Linien aufeinander senkrecht, so verschwinden die Kreuzdiffusionsanteile

$$= \Gamma_e \ \Delta A_e \left[ \frac{\partial \eta}{\partial x_i} \frac{\partial \phi }{\partial \eta} \ n_i \right]_e \ , \qquad = \Gamma_n \ \Delta A_n \left[ \frac{\partial \xi}{\partial x_i} \frac{\partial \phi }{\partial \xi} \ n_i \right]_n \ .$$ (7.16)

Bei Orthogonalität gilt:

$$\underline{\nabla} \xi \cdot \underline{\nabla} \eta = \vert\underline{\nabla} \xi \vert\ \vert \underline{\nabla} \eta \vert \ cos \varphi_{\xi, \eta} = 0 \ ,$$

$$\xi_{,x} \eta_{,x} + \xi_{,y} \eta_{,y} = 0 \ ,$$ (7.17)

und unter Verwendung von (7.10) und (7.8) für die Kreuzdiffusion:

$$\Rightarrow \left[ \frac{\partial \eta}{\partial x} \ n_x +\frac{\partial \eta}{\partial y} \ n_y \right]_e = 0 \ ,$$ (7.18)

$$\Rightarrow \left[ \frac{\partial \xi}{\partial x} \ n_x +\frac{\partial \xi}{\partial y} \ n_y \right]_n = 0 \ .$$ (7.19)

Aus der (lokalen) Orthogonalitätsbedingung $(cos \varphi_{\xi, \eta}=0)$ folgt somit direkt das Verschwinden der Kreuzdiffusionsterme.

Die Aufteilung der Diffusion in einen expliziten und einen impliziten Anteil verlangsamt im Vergleich zu einer komplett impliziten Methode zwar die Konvergenz, im konvergierten Zustand ist das Gleichungssystem jedoch genauso erfüllt.