Weiterführende Arbeiten

Zu untersuchen ist noch das Verhalten bei beliebig anisotropem und orthotropem Materialgesetz. Als nächste Entwicklungsstufe ist die Kopplung von Strömungs- und Strukturcode angedacht.
Bereits getestet ist das Multilevel-Verfahren am Gabelschlüssel (Kapitel 4.6), bei dem mit drei verschieden feinen Gittern (jeweils Punkteanzahl verdoppelt) ohne hängende Knoten gerechnet wurde und dabei die konvergierte Lösung des gröberen Gitters als Initialisierung für das nächste Gitter verwendet worden ist. Gegenüber der Rechnung nur auf dem feinen Gitter bis zur Konvergenz beim selben Abbruchkriterium ergab sich ein CPU-time Verhältnis von $7,8$. Dies und die Linearität der Gleichungen versprechen eine noch größere Beschleunigung, wenn das Multigrid-Verfahren verwendet wird. Dafür muß jedoch noch ein Ausbau dahingehend erfolgen, daß das feinste Gitter zuerst erzeugt werden kann, um eine möglichst genaue Geometrieapproximation zu gewährleisten. Dann wird eine feste Implementierung des Multilevel- und nach Möglichkeit des Multigrid-Verfahrens vorgenommen. Außerdem waren die Rechnungen zum Teil sehr instabil, dass eine korrekte Implementierung noch nicht gewährleistet werden kann.
Bereits eingebaut sind die Gleichungen in der Ausbaustufe, wie sie [15, 16] zu entnehmen ist:

Massenerhaltung:

_V ρ  d V + ∫_S ρ{(v - v_S }₌₀ d S = 0 ⇒{&pd;&pd;t} ∫_V ρ  d V = 0   ,

Bei der Implementierung der Strukturroutinen und der Gitterbewegung wird so vorgegangen, daß die materielle Geschwindigkeit $$v immer der Oberflächengeschwindigkeit eines Kontrollvolumens $$v_S entspricht, in dem die Gitterbewegung der Bewegung des Materials angepasst wird. Das führt zu den angegebenen Vereinfachungen.
Das Volumen verändert sich durch z.B. last- oder temperaturabhängige Verformungen. Über die Massenerhaltung wird dann eine Anpassung der Dichte vorgenommen, jedoch ist der Einfluß generell vernachlässigbar. Die Annahme konstanter Dichte ist gerechtfertigt und die Gleichung wird deshalb nicht gelöst.
Energieerhaltung:

_V ρe   d V + ∫_S (ρe {( v - v_S } ₌₀ - q ) d S = ∫_V {( T:gradv + h }   d V

Als Zustandsgleichung für die innere Energie bei Festkörpern verwenden wir:

$e\; =\; C$_V T   .

Dabei ist $C$_V die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Auf Grund der sehr geringen Volumenänderungen kann dieser Wert in sehr guter Näherung angesetzt werden. Für den Wärmefluß wird wieder das Fourier'sche Wärmeleitungsgesetz verwendet, und h steht für mögliche Wärmequellen.
Der Spannungstensor $$T ist über das Materialgesetz eine Funktion der Verschiebungsableitungen und der Temperatur. Normalerweise kann die mechanische Energie Dissipation $$T:gradv vernachlässigt werden, doch sie ist implementiert, um die Erweiterbarkeit des Programmes zu gewährleisten.

Impulserhaltung:

_V ρv   d V + ∫_S (ρv {( v - v_S } ₌₀ - T ) d S = ∫_V f   d V

Aufgrund der Zeitabhängigkeit und zugelassenen Bewegung in der neuen Ausbaustufe muß der Impus infolge Geschwindigkeitsänderung in der Impulserhaltungsgleichung einbezogen werden. Durch die Nachführung der Gitter gibt es aber ebenfalls keinen Einfluß der Gittergeschwindigkeit $$v_S.
Space Conservation Law (SCL):

_V   d V - ∫_S v_S d S = 0

Das SCL ist a priori erfüllt, da gilt $$v-v_S=0. Jegliche Änderung eines Volumens wird ausschließlich durch die Bewegung seiner Begrenzungsflächen beschrieben. Somit ist keine Lösung dieser Gleichung notwendig.
Die Zeit-Integration erfolgt implizit wahlweise von zweiter oder erster Ordnung.
Zusätzlich zur bisherigen Implementierung sind also die Dichte, die Gravitationsfeldstärke, die spezifische Wärmekapazität und eine Wärmequelldichte vorzugeben. Analog zur Implementierung der Routinen für den Fluid-Code werden die resultierenden Terme aus der zeitlichen Ableitung den Quelltermen (Anteile aus vorherigen Zeitebenen) oder den Koeffizienten (aus der aktuelle Zeitebene) aufgeschlagen (explizit oder implizit behandelt).
Wärmequellen und mechanische Energiedissipation in der Energiegleichung für die Temperatur werden im Volumen als konstant angenommen und explizit behandelt.
Der instationäre Massenträgheitsterm aus der Impulserhaltungsgleichung wird ebenso aufgeteilt wie die transienten Terme in der Energiegleichung.
Es liegen bisher noch nicht ausreichend Testergebnisse mit den erweiterten Routinen vor, da sie einerseits kompliziertere Testfälle erfordern, andererseits auch nicht für die angestrebte Kopplung unbedingt notwendig sind, so daß die Validierung auf einen späteren Bericht verschoben werden muß.