Diskussion der beiden Ausdrücke

Für kleine Änderungen sind beide gleich gut geeignet.

Behandlung der Grenzfälle:

1)

$k_P \rightarrow 0$

harmonisch:      $k_e \rightarrow 0$
(arithmetisch: $k_e = {1 \over 2} k_E$)

Der Wärmefluß am Rand eines Isolators wird beim harmonischen Mittel Null, wie es sein sollte. Das arithmetische Mittel ergibt Fluß $\ne 0$.

2)

$k_P \gg k_E$

harmonisch:      $k_e = 2 k_E$
(arithmetisch: $k_e = {1 \over 2} k_P$)

Die Wandleitfähigkeit $k_e$ ist nicht von $k_P$ abhängig. Ein Material hoher Wärmeleitfähigkeit bietet keinen Widerstand im Vergleich zum Material $E$ (das arithmetische Mittel würde nur den Effekt von $k_P$ auf $k_e$ widerspiegeln). Der Faktor 2 kommt aus der Verwendung eines nominellen Gradienten ${\Delta T \over \Delta x}$ statt des wirklichen Gradienten:

$$\qquad \qquad \qquad \qquad q_e = {k_E \over (\Delta x )_{e+}} (T_P - T_E)\ .$$ (4.12)

Abbildung: Interpolation bei extrem verschiedenen Wärmeleitfähigkeiten

Einen Temperaturabfall gibt es lediglich im Kontrollvolumen $E$; das Kontrollvolumen $P$ ist praktisch isotherm.

Fazit: Das harmonische Mittel gibt bessere Ergebnisse für stark veränderliches $k$. Die Formel hat einige weitere nützliche Eigenschaften, die später erläutert werden.

Damit haben wir auch die Profilannahme geändert:

Abbildung: Veränderte Profilannahmen