Iteration und Konvergenz

Die Iterationen haben zwei Aufgaben:

1. Die Gleichungen sind im allgemeinen nichtlinear und gekoppelt. Wir behandeln sie als nominell linear und entkoppelt. Nichtlinearität und Kopplung behandeln wir durch iteratives Neuberechnen der Koeffizienten und Wiederholung bis zur Konvergenz.

2. Die nominell linearen Gleichungen werden durch eine iterative Methode (z.B. Linienmethode) anstatt durch eine direkte Methode gelöst.

Die iterative Lösung der Gleichungen muß nicht bis zur Konvergenz getrieben werden, da wir zwischendurch nur mit vorübergehenden Koeffizienten arbeiten. Nach einer gewissen Anzahl von Iterationen für eine Diskretisierungsgleichung müssen die Koeffizienten neu berechnet werden. Dabei muß auf ein gewisses Maß an Verhältnismäßigkeit geachtet werden. Hierfür gibt es jedoch leider keine allgemeingültigen Regeln. Lösungsreihenfolge: Zuerst Geschwindigkeiten, dann andere Variable. Die konvektiven Terme beinhalten Geschwindigkeiten, die Geschwindigkeitsgleichungen müssen aber nicht unbedingt von irgend einem anderen $\phi$ abhängen.

Striktes Einhalten der vier Grundregeln führt auf Diskretisierungsgleichungen, die für konstante Koeffizienten die Konvergenz von Punkt- und Linien-Gauss-Seidel sichern. Wenn sich die Koeffizienten nur langsam ändern, kann immer noch Konvergenz erwartet werden. Koeffizienten ändern sich durch Änderung der $\phi$-Werte. Daher verlangsamt angemessene Unterrelaxation der abhängigen Variablen die Änderung in diesen Variablen und damit in den Koeffizienten.

Man kann sinnvollerweise relaxieren:

1. Abhängige Variable ($\phi$'s): siehe Kapitel 4.8.3.

2. Stoff- und Transportgrößen ( $\varrho ,\ \mu ,\ \lambda ,$ ...)

   $$\varrho = \alpha \cdot \varrho_{neu} + (1 - \alpha ) \varrho_{alt}$$ (8.1)

   
   

3. Quellterm ($S_C, S_P$):

   $$S_C = \alpha S_{C,neu} + (1 - \alpha ) S_{C, alt}$$ (8.2)

   
   

4. Randbedingungen

   $$\phi_B = \alpha \cdot \phi_{B, gegeben} + (1 - \alpha) \phi_{B, alt}$$ (8.3)

   
   

Man sollte dabei die Verbindung/Abhängigkeit zwischen einzelnen Parametern beachten; z.B. turbulente Strömungen $k, \varepsilon \to \nu_t \to$ andere Gleichung.