Die Druck- und Geschwindigkeitskorrekturen

Unser Ziel ist Verbesserung des geschätzten Drucks $p^*$ so, daß das gesternte Geschwindigkeitsfeld besser die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Angenommen, wir erhalten den korrekten Druck $p$ aus

$$p = p^* + p' \ .<tex2html_comment_mark>1105$$ (6.13)

Wir nennen $p'$ die Druckkorrektur. Nun müssen wir herausfinden, wie die Geschwindigkeitskomponenten auf diese Druckänderung reagieren. Die entsprechenden Geschwindigkeitskorrekturen $u',\ v',\ w'$ werden analog eingeführt:

$$u = u^* + u' \ ; \qquad v = v^* + v' \ ; \qquad w = w^* + w' \ .$$ (6.14)

Subtrahieren von (6.10) und (6.8) führt auf

$$a_e u'_e = \sum a_{nb} u'_{nb} + (p'_P - p'_E) A_e \ . <tex2html_comment_mark>1106$$ (6.15)

Wir vernachlässigen den Term $\underline{\sum a_{nb} u'_{nb}}$ (Diskussion später) und erhalten

$$a_e u'_e = (p'_P -p'_E) A_e <tex2html_comment_mark>1107$$ (6.16)

oder

$$u'_e = d_e (p'_P - p'_E) <tex2html_comment_mark>1108$$ (6.17)

mit

$$d_e = {A_e \over a_e} \ . <tex2html_comment_mark>1109$$ (6.18)

Gleichung (6.17) heißt Geschwindigkeitskorrekturformel und kann auch geschrieben werden als

$$u_e = u_e^* + d_e (p'_P - p'_E) \ . <tex2html_comment_mark>1110$$ (6.19)

Die gesternte Geschwindigkeit $u_e^*$ wird also korrigiert aufgrund der Druckkorrekturen, wodurch sich $u_e$ ergibt. Entsprechendes gilt für die anderen Geschwindigkeitskomponenten.

$$v_n = v_n^* + d_n (p'_P - p'_N) \ ,$$ (6.20)

$$w_t = w_t^* + d_t (p'_P - p'_T) \ .$$ (6.21)

Damit haben wir alles Notwendige für eine Diskretisierungsgleichung für $p'$.