Lösung des algebraischen Gleichungssystems

Zur Lösung des tridiagonalen Gleichungssystems

$$a_i T_i = b_i T_{i+1} + c_i T_{i-1} + d_i \ , \quad i = 1,2,...,N$$ (4.44)

mit den Randkoeffizienten $c_1$ und $b_N = 0$ verwenden wir den Thomas-Algorithmus oder Tri-Diagonal-Matrix-Algorithmus TDMA.

Hier die Zusammenfassung:

1.

Berechne $P_1 = {b_1 \over a_1}\ , \ \ Q_1 = {d_1 \over a_1}$

2.

Berechne rekursiv

$P_i = {b_i \over a_i - c_i P_{i-1}}\ , \qquad Q_i = {d_i + c_i Q_{i-1} \over a_i - c_i P_{i-1}}$

für $i=2,3,...,N$.

3.

Setze $T_N = Q_N$

4.

Berechne rekursiv

$T_i = P_i T_{i+1} + Q_i$

für $i = N-1, N-2,...,2,1.$

Für die meisten Anwendungsfälle kann der TDMA-Löser jedoch nicht verwendet werden:

1.

TDMA kann nicht auf einfache Weise auf zwei- und dreidimensionale Fälle erweitert werden.

2.

Direkte Methoden für zwei- und dreidimensionale Fälle sind computerressourcen-intensiv.

3.

Direkte Methoden besonders schlecht geeignet für nichtlineare Probleme. Iterative Methoden sind dafür besser geeignet.