Verwendung eines Relaxationsfaktors

Aus (4.47):

$$T_P = {\sum a_{nb} T_{nb} + b \over a_P}$$ (4.48)

$T_P^*$ sei der Wert von $T_P$ aus vorangegangener Iteration.

Addition und Subtraktion von $T_P^*$ auf der rechten Seite:

$$T_P = T_P^* + \left( {\sum a_{nb} T_{nb} + b \over a_P} - T_P^* \right)$$ (4.49)

Die Klammer stellt die Änderung von $T_P$ in der Iteration dar. Modifikation durch einen Relaxationsfaktor $\alpha$:

$$T_P = T_P^* + \alpha \left( {\sum a_{nb} T_{nb} + b \over a_P} - T_P^* \right)$$ (4.50)

oder

$${a_P \over \alpha} T_P = \sum a_{nb} T_{nb} + b + (1- \alpha) {a_P \over \alpha} T_P^*$$ (4.51)

Bei Konvergenz wird $T_P = T_P^*$, und das komplette Feld $T$ genügt der Originalgleichung (4.47). Diese Eigenschaft muß jedes Relaxationsverfahren besitzen. Die konvergierte Lösung muß immer der Original-Diskretisierungsgleichung genügen. Für $0 < \alpha \le 1$: Unter-Relaxation; $\alpha$ klein: Langsame Änderung von $T_P$. $\alpha > 1$: Über-Relaxation.