Nichtlinearität

Nur lineare Gleichungen können bequem gelöst werden:

$$a_P T_P = a_E T_E + a_W T_W + b \, .$$ (4.13)

Für lineare Gleichungen sind $a_P, \ a_E, \ a_W, \ b$ konstant. Wenn $k = k(T)$ oder $S$ eine nichtlineare Funktion von $T$ ist, ist ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen, denn $a_P, \ a_E,\ ...$ sind dann von $T$ abhängig. Solche Situationen werden durch Iteration behandelt:

1.

Schätze $T$ für alle Gitterpunkte.

2.

Berechne Koeffizienten $a_P, \ a_E,\ ...$ mit diesen Temperaturen.

3.

Löse das Gleichungssystem und erhalte $T$.

4.

Nimm neues $T$ als besseren Schätzwert und gehe nach 2. Wiederhole Prozeß bis sich $T$ nicht mehr (signifikant) ändert.

Die schließlich konvergierte Lösung ist die Lösung des nichtlinearen Problems. Fehlschläge des Iterationsprozesses nennt man Divergenz, erkennbar z.B. durch stetiges oder oszillierendes Abdriften der Iteration. Die Beachtung der vier Grundregeln minimiert die Gefahr der Divergenz.