Variable (Wärme-) Leitfähigkeit

Bei variabler Leitfähigkeit ist i.a. der Wert von $k$ nur an den Gitterpunkten $W, P, E$ usw. bekannt. Benötigt wird eine Vorschrift zur Berechnung von z.B. $k_e$ aus diesen Werten. Eine simple lineare Interpolation zwischen Gitterpunkten ist z.B.:

$$k_e = f_e k_P + (1 - f_e) k_E$$ (4.5)

mit

$$f_e = {(\delta x)_{e+} \over (\delta x)_e} \, .$$ (4.6)

Abbildung: Interpolation auf die Kontrollvolumenränder

Für $e$ in der Mitte zwischen $P$ und $E$ ist $f_e = 0.5$, und $k_e$ ist das arithmetische Mittel aus $k_P$ und $k_E$. Dies erweist sich in bestimmten Fällen als nachteilig, insbesondere bei abrupten Änderungen in inhomogenen Medien.

Eine bessere Alternative folgt aus der Überlegung, daß nicht der lokale Wert der Leitfähigkeit am Kontrollvolumen-Rand interessiert, sondern in erster Linie eine gute Darstellung des Wärmeflusses $q_e$ am Rand gesucht ist:

$$q_e = {k_e \over (\delta x)_e} (T_P - T_E) \ .$$ (4.7)

Betrachtet man jedes KV als jeweils gefüllt mit einem Material konstanter Leitfähigkeit, dann ergibt sich aus einer lokalen Betrachtung:

$$q_e = {T_P - T_E \over {(\delta x)_{e-} \over k_P} + {(\delta x)_{e+} \over k_E}}\ .$$ (4.8)

Damit ist

$$k_e = \left( {1-f_e \over k_P} + {f_e \over k_E} \right)^{-1}\ .$$ (4.9)

Falls $e$ wieder in der Mitte zwischen $P$ und $E$ liegt $\ (f_e = 0.5)$, dann ist

$$k_e^{-1} = 0.5 (k_P^{-1} + k_E^{-1}) \quad \longrightarrow \quad k_e = {2 k_P k_E \over k_P + k_E}$$ (4.10)

Das ist das harmonische Mittel.

Damit ergibt sich für den Koeffizienten $a_E$

$$a_E = \left[ {(\delta x)_{e-} \over k_P} + {(\delta x)_{e+} \over k_E} \right]^{-1}$$ (4.11)

und somit ist $1 \over a_E$ die Summe der Wärmeleitungswiderstände für das Material zwischen $P$ und $E$.