Die Grundgleichungen

Das Beispiel in Kapitel 3 war ein Vehikel zur Erläuterung der vier Grundregeln, gleichzeitig wurde dort bereits alles abgeleitet. Deshalb hier nur eine kurze Zusammenfassung:

Die Grundgleichung

$${d \over dx} \left( k {dT \over dx} \right) + S = 0$$ (4.1)

führt auf die Diskretisierungsgleichung

$$a_P T_P = a_E T_E + a_W T_W + b \ ,$$ (4.2)

worin

$$a_E ={k_e \over (\delta x)_e} \ ; \ a_W ={k_w \over (\delta x)_w} \ ;$$ (4.3)

$$a_P = a_E + a_W - S_P \Delta x \ ; b = S_C \Delta x \ .$$

Abbildung 10: Kontrollvolumen

Die Kontrollvolumen-Wände $(w, e)$ liegen zwischen den Gitterpunkten $(W, P, E)$. Der genaue Ort ist willkürlich. Einige Praktiken werden später diskutiert. Der Ort wird hier einfach als bekannt vorausgesetzt. Die Größen $S_C, S_P$ resultieren aus der Quellterm-Linearisierung:

$$\bar S = S_C + S_P T_P \, .$$ (4.4)

Die Profilannahmen waren ein stückweise lineares $T(x)$-Profil für den Gradienten ${dT \over dx}$ und ein stückweise konstantes Profil $T = T_P$ für den linearisierten Quellterm. Andere Profile sind möglich und erlaubt, solange die vier Grundregeln nicht verletzt werden.

Es folgen einige weitere wichtige Gesichtspunkte des eindimensionalen Wärmeleitungsproblems.