Die Spannungstensoren

Der Spannungszustand ist eindeutig durch den ortsabhängigen Cauchyschen Spannungstensor $$T in der momentanen Konfiguration beschrieben. Seine Komponenten erfüllen das Transformationsgestz, [13], Seite 48 ff., (z.B. kovariante Komponenten):

$T$_ij = {&pd;w^m&pd;wⁱ} {&pd;wⁿ&pd;w^j} T_mn .

Der Spannungstensor ist symmetrisch, [13, 3, 9]. Den Spannungsvektor $$σ zu einer Fläche erhält man mittels der skalaren Multiplikation des Spannungstensors mit dem Normaleneinheitsvektor $$n dieser Fläche. Multipliziert man mit dem Flächeninhalt $dA$, so erhält man die Kraft $d$F:

$$σ &thicksp; dA = d F = Td A =Tn&thicksp; dA.

Es gibt mehrere Notationen für die Spannungstensorkomponenten. Im allgemeinen werden die (kovarianten) $T$_ij verwendet, häufig findet man auch $\sigma$_ij oder in kartesichen Koordinaten $\sigma$_x, $\tau$_xy, .... Die Hauptspannungen werden mit $\sigma$_i bezeichnet. Sie werden bestimmt durch Transformation des Spannungstensors auf das Hauptachsensystem, und mit ihnen können die drei Invarianten (da 3-D) des Spannungstensors berechnet werden, [3], Seite 85 ff.
Neben dieser Eulerschen Darstellung gibt es noch die Lagrangesche oder materielle Darstellung, die in der Elastizitätstheorie bevorzugt wird. Die zwei Piola-Kirchhoff-Spannungstensoren sind zwei Möglichkeiten, den Spannungszustand bezüglich einer Referenzkonfiguration (nicht notwendigerweise der Ausgangszustand) zu beschreiben, [3]. Dabei ist nur der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor symmetrisch und wird deswegen häufiger verwendet.