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Verwendung eines Relaxationsfaktors

Aus (4.47):

$\displaystyle T_P = {\sum a_{nb} T_{nb} + b \over a_P}$ (4.48)


$ T_P^*$ sei der Wert von $ T_P$ aus vorangegangener Iteration.


Addition und Subtraktion von $ T_P^*$ auf der rechten Seite:

$\displaystyle T_P = T_P^* + \left( {\sum a_{nb} T_{nb} + b \over a_P} - T_P^* \right)$ (4.49)


Die Klammer stellt die Änderung von $ T_P$ in der Iteration dar. Modifikation durch einen Relaxationsfaktor $ \alpha$:

$\displaystyle T_P = T_P^* + \alpha \left( {\sum a_{nb} T_{nb} + b \over a_P} - T_P^* \right)$ (4.50)


oder

$\displaystyle {a_P \over \alpha} T_P = \sum a_{nb} T_{nb} + b + (1- \alpha) {a_P \over \alpha} T_P^*$ (4.51)


Bei Konvergenz wird $ T_P = T_P^*$, und das komplette Feld $ T$ genügt der Originalgleichung (4.47). Diese Eigenschaft muß jedes Relaxationsverfahren besitzen. Die konvergierte Lösung muß immer der Original-Diskretisierungsgleichung genügen. Für $ 0 < \alpha \le 1$: Unter-Relaxation; $ \alpha$ klein: Langsame Änderung von $ T_P$. $ \alpha > 1$: Über-Relaxation.



Ulf Bunge 2003-10-10