Darstellung des Druckgradiententerms

Abbildung 41: Eindimensionale Darstellung Druckgradiententerm

Wir beschränken uns zunächst auf inkompressible Strömungen. Für die eindimensionale Situation (Abbildung 41) ergibt sich bei der Konstruktion der diskretisierten Impulsgleichung lediglich eine neue Besonderheit: die Darstellung des über das Kontrollvolumen integrierten Terms $- {dp \over dx}$. Der resultierende Beitrag zur Diskretisierungsgleichung ist die Druckdifferenz $p_w - p_e$. Sie ist die auf das Kontrollvolumen mit Querschnitt eins $(\Delta y \cdot \Delta z = 1 \cdot 1)$ ausgeübte Druckkraft. Um $p_w - p_e$ auszudrücken in den Gitterpunktwerten des Drucks können wir ein stückweise lineares Profil für den Druck annehmen. Aus Gründen algebraischer Einfachheit nehmen wir die Kontrollvolumenwände $e$ und $w$ in der Mitte zwischen den entsprechenden Gitterpunkten an und erhalten

$$p_w - p_e = {p_W + p_P \over 2} - {p_P + p_E \over 2} = {p_W - p_E \over 2}\ .$$ (6.3)

Die Impulsgleichung enthält damit Druckdifferenzen zwischen zwei alternierenden Gitterpunkten und nicht zwischen benachbarten. Der Druck wird damit effektiv von einem gröberen Gitter berechnet, mit entsprechend geringerer Genauigkeit. Ein weit schwerwiegenderes Problem ist im Abbildung 42 dargestellt.

Abbildung 42: Zick-Zack-Druckfeld (eindimensional)

Ein solches Zick-Zack-Druckfeld ist unrealistisch, ergibt jedoch für jeden Gitterpunkt $P$ ein entsprechendes $p_W - p_E = 0$. Die Impulsgleichung fühlt ein solches Druckfeld wie ein konstantes. Dramatischer ist eine entsprechende Situation in zwei Dimensionen:

Abbildung 43: Schachbrettartiges Druckfeld (zweidimensional)

Ein solches Schachbrett-Druckfeld ergibt keine Druckkraft in $x$- oder $y$-Richtung, und somit würde ein stark ungleichförmiges Druckfeld wie ein konstantes Druckfeld wirken. Ein solches Druckfeld könnte während der Iteration entstehen und würde auch bei Konvergenz nicht verschwunden sein. Ergibt sich ein glattes Druckfeld als Lösung, könnte durch Überlagerung mit einem Schachbrett-Druckfeld eine beliebige andere Lösung erzeugt werden, und die Impulsgleichung würde nicht beeinflußt werden.