Diskretisierungsgleichungen

Algebraische Gleichungen beinhalten die unbekannten Werte von $\phi$ an den gewählten Gitterpunkten. Die Herleitung einer Approximation erfordert Annahmen über den Verlauf von $\phi$ zwischen den Gitterpunkten. Das $\phi$-''Profil'' kann ein einziger algebraischer Ausdruck für das ganze Rechengebiet sein, z.B. eine Fourierreihe. Eine solche Lösung hat sich jedoch als unpraktisch erwiesen. Stattdessen werden wesentlich günstigere stückweise Profile (Segmente) verwendet. Dabei wird die Tatsache ausgenutzt, daß der Wert von $\phi$ an einem Punkt nur die $\phi$-Verteilung in seiner unmittelbaren Umgebung beeinflußt. Jedes Segment beschreibt die Variation von $\phi$ über ein kleines Gebiet in Abhängigkeit von benachbarten $\phi$-Werten.

Alle Verfahren sollen zunächst auf eindimensionale Probleme beschränkt betrachtet werden:

$$\phi = \phi (x) \ .$$

Die Diskretisierungsgleichung ist eine algebraische Beziehung zur Verbindung der $\phi$-Werte für eine Gruppe von Gitterpunkten. Für große Punktzahlen ist die Lösung der Diskretisierungsgleichung gleich der exakten Lösung der Differentialgleichung.

Die möglichen Diskretisierungsgleichungen sind nicht einzigartig, sondern es lassen sich sehr unterschiedliche Verfahren ableiten. Die Typenvielfalt resultiert aus Unterschieden in den Profilannahmen und in der Methode der Herleitung:

Im Prinzip sind sich die Methoden sehr ähnlich. Der Verlauf der Lösung zwischen den Gitterpunkten wird im allgemeinen auf dieselbe Weise durch bedarfsweise mehr oder weniger hochgradige Polynome angenähert. Die Amplituden (oder Stützwerte) $f_0, f_1, f_2$ für diesen Polynomansatz ergeben sich aus Kollokation:

• Bei der Finite-Differenzen-Methode bestimmen sich die Amplituden aus der Bedingung, daß der damit gewonnene Funktionsverlauf in den Gitterpunkten $x_0, x_1, x_2, \dots$ die Differentialgleichung erfüllt. ( $\rightarrow$ Punktkollokation, siehe Abbildung 5 links).
• Bei der Finite-Volumen-Methode bestimmen sich die Amplituden aus der Bedingung, daß der damit gewonnene Funktionsverlauf in den durch die Gitterpunkte getrennten Gebieten (Finite-Volumen) $\delta V_1, \delta V_2$ im Mittel (d.h. global) die Differentialgleichung erfüllt ( $\rightarrow$ Gebietskollokation, siehe Abbildung 5 rechts).

Abbildung 5: Typische Approximation des Funktionsverlaufs zwischen den Gitterpunkten bei FD-Methode (links) und innerhalb der Kontrollvolumen bei der FV-Methode (rechts)

Am Beispiel der Kontinuitätsgleichung (3.1) soll dieser Unterschied mathematisch beschrieben werden:

$$\frac{\partial}{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho v) = 0 \ .$$ (3.1)

Gesucht ist der Verlauf der Flüsse ''$\rho u$'' und ''$\rho v$'' als Funktion von $x$ und $y$. (Hierzu ist selbstverständlich noch eine weitere Zwangsbedingung, z.B. die Impulsgleichung, erforderlich.)

Die (exakte) Lösung erfüllt die Differentialgleichung überall, so daß wir hierfür auch die ''Integro-Differentialgleichung''

$$\int\limits_{\delta V} \left[ \partial x(\rho u) + \partial y(\rho v) \right] dx dy \underbrace{dz}_{=1} \ ,$$ (3.2)

notieren können. Für die exakte Lösung ist die Integro-Differentialgleichung der Differentialgleichung äquivalent.

$\rightarrow$ Die Lösungen der beiden Ausdrücke entsprechen sich auch für beliebige Unterteilungen

$$\delta V = \delta V_1 + \delta V_2 + \dots \ .$$

Eine weitere, sicherlich ebenso richtige Integro-Differentialgleichungsformulierung lautet:

$$\int\limits_{\delta V} G(x,y) \left[ \partial x(\rho u) + \partial y(\rho v) \right] dx dy = 0 \ .$$ (3.3)

Hierbei wird das Integral über die Differentialgleichung zusätzlich noch gewichtet. Diese Betrachtungen führen auf die Methoden der gewichteten Residuen.