Koordinaten und abhängige Variable

Unabhängige Variablen sind im allgemeinen Fall die Zeit $t$ und die (kartesischen) Raumkoordinaten $x,\ y,\ z$.

Die Wahl geeigneter anderer Koordinaten kann wesentliche Vereinfachungen mit sich bringen (Reduktion der Anzahl unabhängiger Variabler $\to$ Gitterpunkte).

Beispiele:

axialsymmetrische Rohrströmung

Strömung um bewegte Körper

Koordinatentransformation bei Grenzschichtströmungen

usw.

Auch die geeignete Wahl abhängiger Variablen kann eine Reduktion des Rechenaufwands bewirken.

Dimensionslose Variable

Beispiel: eindimensionale Wärmeleitung:

$$k {d^2 T \over d x^2} + S = 0 \phantom{mmmmmmmmmmmm}$$

Dimensionsbehaftete Variable: macht viele Lösungen erforderlich;
Dimensionslose Variable: ermöglicht die Reduktion der Parameteranzahl:

Sei$$\ \ \ X = {x \over L}\ ;\ \ \ \Theta = {T - T_1 \over T_2 - T_1} \ ;\ \ \ \Omega = {SL^2 \over k(T_2 - T_1)}$$

dann

$${d^2 \Theta \over dX^2} + \Omega = 0\ ;$$

$$X = 0 : \Theta = 0 \ ; \ \ \ X = 1 : \Theta = 1\ .$$

Das Problem wird nur noch durch einen Parameter $\Omega$ beschrieben.

Abbildung 2:

Für jeden Problemtyp ist ein unterschiedlicher Satz von Parametern notwendig. Die Parameter sind jedoch nicht universell definiert:

Eine Alternative zum obigen Beispiel:

$$\phi = {T - T_1 \over SL^2 / k}\ ;\ \ \ X = {x \over L}$$

$$\longrightarrow \quad {d^2 \phi \over d X^2} + 1 = 0\ .$$

Die Differentialgleichung enthält jetzt keinen Parameter mehr! Der Parameter steht jetzt in der Randbedingung:

$$X = 0 \ : \ \phi = 0$$

$$X = 1 \ : \ \phi = {T_2 - T_1 \over SL^2 / k} = {1 \over \Omega}\ .$$

Wir werden im folgenden von den dimensionsbehafteten Gleichungen und Größen ausgehen. Die Terme der Differentialgleichungen haben dann eine anschauliche physikalische Bedeutung.